2014考研数学备考重点(连续性及间断点类型)
2023-02-06 18:01:27
考研全封闭辅导班
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[摘要]
??可去间断点:左极限=右极限的间断点 跳跃间断点:左极限 右极限的间断点 2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点 无穷间断点: 时, 振荡间断点: 时, 振荡 【例1】 设 和 在 上有定义， 为连续函数，且...
??可去间断点:左极限=右极限的间断点
跳跃间断点:左极限 右极限的间断点
2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点: 时,
振荡间断点: 时, 振荡
【例1】 设 和 在 上有定义， 为连续函数，且 ， 有间断点，则
(A) 必有间断点； (B) 必有间断点；
(C) 必有间断点； (D) 必有间断点.
【解法1】 直接法
直接证明选项（D）正确，用反证法：
若 无间断点，由 的连续知
= 必无间断点，这与 有间断点矛盾，故应选（D）.
【解法2】 排除法
设 ， ，显然 ， 符合题设条件，而
， ，
都处处连续，则排除（A）（B）（C），故应选（D）.
【例2】 讨论函数 的连续性并指出间断点类型.
【解析】由于 为初等函数，则除 ， 外 处处连续.
当 时，
则 为跳跃间断点.
当 时，
则 为可去间断点.
当 时
则 为无穷间断点.
【例3】 求函数 的间断点并指出其类型.
【解析】 显然 和 为 的间断点，其余点处都连续。
则 为可去间断点。
则 为跳跃间断点。
【例4】 求极限 ，记此极限为 ，求函数 的间断点并指出类型.
【解析】 由于 ，而 ，则
显然 都为 的间断点.
由于 ，则 为可去间断点；
而 都为第二类间断点.
【例5】 求函数 的间断点并指出其类型。
【解析】 ，显然 无意义.
而 则 为可去间断点.由于 ， ，
则 为跳跃间断点.而 是偶函数，故 也是跳跃间断点.
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