考研数学《线性代数》考点常识点总结(考研数学一对一辅导)

1、第一章部队式二元线性 方程组:aiixai2ybia2ixa22 yb2daiiai2a2ia22,dibiai2a，d2b2a22ainl2ib2did2x - ， y -77 dd摆放的逆 序数:ntti（ ti为摆放pi p2pn中大丁 pi且排于【t i）i前的元素个数）t为奇不偶摆放，t为偶数偶排 歹u, t 0标准摆放。n阶部队 式:d det(aj)aiia2ama2ia22a2nanian 2ann=(i)aip1a2 p2anpnt为列标摆放的逆序数.定理1:摆放中任意两个兀素对换，摆放改动奇偶性推论:奇（偶）摆放变为标准摆放的对换次数为奇（偶）数定理2:n阶部队式可界说为d

2、( i) apiiap22apnn=(。优22p2anp” .部队式的 性质:i. d=dt, dt为d转置部队式.（沿副对角线翻转，彳t列式相同不变 ）2.交换部队式的两行（列），部队式变号.记作:rpj （cicj）dd .推论:两行（列）完全相同的部队式等于零.记作:ri rj （ci cj）d d 0.3 .部队式乘以k等于某行（列）一切兀素都乘以k.记作:kd ri k（ kd q k）.推论:某一行（列）一切元素公因子可说到部队式的外面.记作:kd ri k（ kd ci k）.4.两行（列）元素成比例的部队式为零.记作:pj r k （cj g k）d 0 .5. d上式为列!a

3、n乳(aii!)即a2ia22(a2ia2i)a2nanian2(aniani)ann改换，行改换相同树立.daiiai2aiiana2ia22a2ia2nanian2aniannaiiai2%加a2ia22a2ia2nanian 2aniann6 .把部队式的某一列（行）的各兀素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的兀素上去，部队式不变.记作:cig kcj （riri krj）, d /、变.注:任何n阶部队式总能使用行运算ri+krj化为上（下）三角部队式.i020n对;i 2n )甬部队式0i2n0n(n i)(i) 2 i 2nd上d (下dt)三角)aii0a2ia22anian2a

4、nn陟部队式aiia22annaiakaiiaikd1 det(aj)升小akiakk“ak1akk若又d设，cl1clk bllbikbllbind2det(bij)ck1ckk bk1bkkbnibnn贝u有 d = did2.若2n阶部队式d2n有 d2n=(ad-bc)n.abab cdcd2n余子式:n阶部队式中把 为地址的第i行和第j列去掉后，余下n-1阶部队式.代数余子式:aj(i)ijmij引理:n阶部队式d中，若第i行一切兀素除aj外都为零，则有 d aj aj .定理3:(代数余子 式性质)部队式等于它的行(列)的各兀素与其对应的代数余子式乘机之和.推论:部队式某一行(列)

5、的兀素与另一行(列)的对应兀素的代数余子式乘机之和等于零.nd,当ij,、nd,当ij,1,当 ij,akajd ij当.或aikakd ij当.其间 ijc 当.k10,当ij； k10,当ij；0,当 ij.范德蒙德 部队式:dniiiixix2x3xn2222xix2x3xnn inininixix2x3xn=(x xj).证明用数学归纳法.n i j i克拉默法贝u:allxla12x2alnxn4，、8舌铲加a21x1a22x2a2nxnb2,t设方程组，7anixian2x2annxn0d1d2dn，一xi, x2, xn,其间 djdddaiiain字d0 ,则方程waniann

6、aiiai,j ibiai,jiainanian,j ibnan,jiann注有，解:(j i,2, ,n).定理4:若上线性方程组的系数部队式 d 0,则方程组m专一解；若无解或有两个不一样解，则d 0 .定理5:若齐次线性方程组(bn=0)的系数彳t列式 d 0,则齐次线性方程组无非零解若有非零解，则d 0 .第二章矩阵及其运算n阶单位矩阵(单位阵):i000i0e00iea ae a .对角矢1阵(对角阵):400040a00,另可记作 a diag( i, 2, , n).纯量阵:入000 入0e0 0入(e)a a , a( e) a .矩阵与矩 阵相乘:若a (aj)是一个m s矩阵

7、，b (bj)是一个s n矩阵，且c ab ,则c (cj)是一个m n矩阵，且 cjailbija2b2jaisbsj(i 1,2, ,m；j 1,2, n) .若 ab ba ,称 a 与 b 是可交流的.矩阵转置:若a (a。)，则at)(a b)t at bt,(ab)t btat若a at , a为对称阵方阵的部队式:n阶方阵a元素构成的部队式，记a或 det a .方阵部队式的运算规则:1. at |a ;2. an a ；13. |ab| a b , a a 1伴随矩阵:a1a21an1a*a2a22an2aana2nannaj为部队式 代数余子式.a中对应元素的* *aa a

8、aae逆矩阵:若ab ba e，则a可逆，且称b为a的逆矩阵，记b = a -1, a的逆阵是仅有的.定理1 :若矩阵a可逆，则a| 0.定理2:，1*若a 0 ,则矩阵a可逆，且a 1a .网独特矩阵:当|a| 0时，a称为独特矩阵.矩阵a可逆的充要条件:a 0 ,即矩阵a对错独特矩阵。 逐个一4144444 t运算规则:1. (a 1) 1a ； 2.( a) 1a 1;3. (ab) 1b 1a1；4. (at) 1(a 1)t.矩b$ a的m次多项式:(a) a0e a1a a1a2amam(a)f (a) f(a) (a),多项式可相乘或分化因式1.若 a pap1,则 akpakp

9、1, 2. a diag( 1, 2, n)(对角阵)，则 ak diag(k, k, , n),(a) p (a)p(a) diag( ( 1), ( 2), ( n).加减相乘与矩阵相同。分块对角矩阵:(其间a以及ai均为方阵)a11a1r分块矩阵 的运算规若aas1a sraa1a 20若|a0 ,则 a 1a11a210律:则atatat81181r0as0as1atat8s18sr性质:aa1ia2|as|,且ail 0 (i 1,2,s),则a0.tt0tla,an )1 %ttam% n,a1jama m n2 0c2行向量:列向量:若ata 0 ,ta2jtocmajm痴则a

10、0 .toi(ai1,ai2, ajamjaan(1a1，2 a2,nan)第三章矩阵的初等改换与线性方程组矩阵的初等改换:初等行(列)改换:1.rirj(ci5 )； 2.rik (cik) (k 0)； 3.rikrj (c(kcj).矩阵间等价:行等价:a b ；列等价:a b ；等价:a b .(矩阵a经有限次初等改换变成矩阵 b)行阶梯型矩阵:阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零兀。行最简形矩阵:竖线后非零兀为1,同列其它兀为0.标准型:er 0f或 f er0 0 m n矩阵am n经初等改换总能化为标准型f .等价类:一切等价矩阵构成的集结，标准型为其间形状最简略矩阵。初等矩阵:

11、单位矩阵e经一次初等改换所得矩阵e(f) (f为改换规则):1.e(i,j):r rj(c cj)；2. e(i(k) : r k(c k)( k 0 ) ;3. e(ij(k) : r krj (kc c)定理1:矩阵a初等行改换，初等矩阵左乘 e(f)a;初等列改换，初等矩阵右乘 ae.定理2:方阵a可逆的充要条件:存在后限个初等矩阵e1(f)o e2(f),，el(f),使a=e1(f)e2(f)el(f).推论1:方阵a可逆 ae .推论2: ab存在可逆矩阵 p与q,使paq=b.重要性质:方阵 a 可逆，则(a, e)l(e, a-1).(a, b)(e, a-1b), ax b,

12、 x=a-1b (a, b)(e, x)1a c ery ca-1 或 yt (ca 1)t (at) 1ct(at,ct)(e,(at) 1ct)c ca矩阵的 秩:标准型f中非零行的行数 r,记r(a).且r+1阶子 式全等于零，r阶非零子式称 a的最高阶非零子式。矩阵a的 k阶子式:取a中k行与k列父叉处的k2个兀素且 不改动对应方位构成的 k阶部队式。界说:零矩阵的秩为0;满秩矩阵(可逆矩阵)，降秩矩阵(不可以逆即独特矩阵)。矩阵秩的 性质:。卡(amxn) minm, n; r(at尸r(a);若 a b ,则 r(a)=r(b);若 p、q可逆，则 r(paq尸r(a);maxr(a

13、), r(b)不(a, b)*(a)+r(b),特例，当 b=b 为列向量时,有 r(a)卡(a, b)朱(a)+1 ; r(a+b)不(a)+r(b);r(ab)而in r(a), r(b);若 ambn乂=0,贝u r(a)+r(b)切.定理4:n元线性方程组ax b(i)无解的充分必要条件是r(a) r(a, b);(ii)有，解的充分必要条件是r(a) r(a,b) n;(iii)后尢限多解的充分必要条件是r(a) r(a,b) n .线性方程组有解，称它相容；无解，就称 它/、相容.定理5:线性方程组

ax b有解的充要条件是 r(a) r(a,b).定理6:n元齐次线性方程组 ax

14、0有非零解的充要条件是 r(a) n .定理7:矩阵方程 ax b有解的充要条件是 r(a) r(a,b).定理8:设 ab c ,则 r(c) min r(a), r(b).定理9:矩阵方程amnxnl o只需零解的充要条件是 r(a) n .第四章向量组的线性有关性注:列向量用黑体小写字母 a、b、 a、 b等标明，行向量则用 at、bt、j、 0t等标明，若无指明均当列向量.界说:向量b能由向量组a线性标明:b=ra1+力a2+ ；mam(x为实数)或可记为b ax(xk列向量).n维向量(组):向量(组中每个向量)由n个数构成。向量组等价:两向量组能彼此线性标明.向里组a线性有关:k1

15、a+k2a2+kmam=0 (ki不全为0),反之线性无关。向量组的秩:从向量组 a中可选出r个向量线性无关，且任意 r+1向量都线性有关，r为秩，记ra.性质:矩阵a与b行等价，则a的行向量组与b的行向量组等价；列等价，则列向量组等价.定理1:向量b能由向量组 a : a1，a2,，am线性表上的充要条件是r(a)=r(a, b).定理2:向量组b: b1，b2,，bl能由向量组 a: a1, a2,，am线性标明的充要条件是 r(a)=r(a, b).推论:向量组 a: a1，a2,，am与向量组b: b1，b2,，bl等价的充要条件是 r(a)=r(b)=r(a, b).定理3:若向量组

16、 b: b1，b2,，bl能由向量组 a :a1,a2,，am线性标明,则r(b)*(a).逆阵推广:n维单位坐标向里组e:e1，e2,，el能由n维向重组a : a1，a2,，am线性表不的充要条件是r(a)=n.定理4:；向重组a: a1，a2,，am线性有关的充要条件是r(a)0时一te线性有关。设向里组 a: ai,a2,，am线性无关，而同重组b:ai,，am,b线性有关，则向重b必能由向重组a线性标明，且标明式是仅有的。定理6:矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.推论:由向量组a中有些向量构成向量组 ao,若满足ao线，性无关且 a中任一贯量都能由 ao线性标明，

17、则向量 组a0就是向量组a的一个最大无关组.定理7:设m n矩阵a的秩r（a尸r,则n元齐次线性方程组 ax 0的解集s的秩rs=n-r.解的规划:方程ax 0通解:x=ki g+k2&+kt&；方程 ax b通解:x=ki *k2 &+ + kt a+刀*. e基础解系，t=n-r.向量空间:非空，关闭（加法、数乘运算均在集结内进行）的n维向量的集结称向量空间.由线性无关 向里组a1，a2,，ar（基）所生成的r维（维数）向量空间为:v=x= ?iai+?2a2+,|九，加，ar, 入称为x在基ai, a2,，ar中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称天然基。空间向量v的基就是向量组的最大

18、无关组，v的维数就是向量组的秩。改换公式:基艾换公式:b-ap;坐标改换公式:xb=p1xa.p=a 1b, p1=b1a,其间a为1日基矩阵，b为新基矩阵，xa为旧基中的坐标列向量，xb为新基中的坐标列向量。 p=a 1b称为过渡矩阵.第五章类似矩阵及二次型内积性质:1.x, y=y, x; 2.&,y= ay, x; 3.x+y, z=x, z+y, z; 4.当 x=0 时，x, x=0 ;当 x%时,x, x0 .施瓦茨不等式:x, y2qx, xy, y.n维向量x的长度（范数）:xjx,x jx； x2x2.向量长度:性质:1.非负性:当x加时，|x|0;当x=0时，|x|二0;

19、2.其次性|冈尸网卜|; 3.三角不等式|x+y|x|+|y|.向量夹角:arccos （x0, yo）,当x, y=0时，称向重x与y正交；右x=0, x与任何向重都正交。lx iiimi定理1:右n维向里a1，a2,，ar是一组两两止交的非零向重，则 a1，a2,，ar线，住无关.界说:标准正交基:基中向重两两止交且都是单位向重；标准正交基中坐标核算公式:i e, a a,ei .施密特正 交化 （基标准止 交化）:dhh。b1,a2k ,h。b1,ar u b2,ar ubr1,ar u1blai，b2a2bi，b2arblb2br1.bi,bibi,bib2,b2由 i,b.i2.单位

20、化ei二，e2工b2,，e工b，就是一个标准止交基.ibill同lbr|正交矩阵:n阶矩阵a满足ata=e（即a at）.a中止交阵的充要条件: a的列（彳t）向量均是单位向量， 且两两止交.正交阵:正交阵构成一个标准正交基。性质:i .若a为正交阵，则 a1=at也为正交阵，且|a|二i或（-i）；正交交流:y=px （p为正交阵）,且|y|二ixil-2.若a和b均为正交阵，则 ab也是正交阵.方阵特征 界说:若ax=及树立，数 入称为方阵a的特征值，非零向量.x称为a的对应于特征值 入的特征向量。特征方程:|a ?e|=0;特征多项式:f（=|a 正|二（ m（尬-4（九-a , f（4

21、是入的n次多项式。特征性质:设n阶矩阵 a= （aj）的特征值为入，则i,入+及+ m=ai什a22+ann； 2. h q九=|a|.若pi是方阵a的对应特征值 1的特征向量，则 kpi （k刈）也是对应于 1的特征向量.若入是方阵a的特征值，则:i,於是ak的特征值；2.当a可逆时，i/入是a1的特征值；3.（x4是4（a） 的特征值（其间（x a=a0+a ？+am 乎；a）=a0e+aia+amam） .定理2:设为，m,，加是方阵a的特征值，pi, p2,，pm是对应的特征向量，右 入各不相等，则pi线，性无关.界说:若对矩阵a, b有，p iap=b,则称b是a的类似矩阵.对a进行

22、运算pap称又a进行类似改换.定理3:若a与b类似，则a与b的特征多项式相同，且 a与b的特征值亦相同.推论:若a与对角阵a类似，则 / 心，:n就是a的n个特征值.界说:把方阵a对角化:pap=a;可求得 依diag（3 h,，而），其间入为a特征值.7e 理 4:n阶矩阵a与对角阵类似（即 a能对角化）的充要条件:a有n个线性无关的特征向量。推论:若n阶矩阵a的n个特征值互不相等，则 a与对角阵类似。定理5:对称阵的特征值为实数。定理6:设方，m是对称阵a的两个特征值，pi, p2是对应的特征向量.若 z丰江，则pi与p2正交.定理7:设a为n阶对称阵，则必启正交阵 p,使p 1ap=pt

23、ap=a,其间a是以a的n个特征值为对角兀的对角 阵.推论:设a为n阶对称阵，入是a的特征方程的k重根，则矩阵 a-正的秩r(a正尸n-k,然后对应特 征值入恰有k个线，住无关的特征向量.对称阵a 对角化的进程:1 .求出 a的悉数特征值 ?i,加，,它们的重数顺次为 ki, k2,，ks(ki+k2+ks=n).2 .别离对ki重特征值 九求(a e)x=0的基础解系，得ki个线性无关特征向量，把它们正交化、单位化.3 .把求出的一共 n个正交、单位向量构成正交阵p,便有p 1ap=ptap = a, p列向量与 a的对角兀对应.二次型:1 . 根柢函数式:f（x1 , x2, , xn）=

24、a11x 1 + a22x 2+-+annx n +2a12x1x2+2a13x1x3+. . +2an-1,nxn-1xn .n2. fajxxj（1 中满足 a a。）.i,j 13. f=xtax, 2 中记对称阵 a= （aj）, xt=（x1, x2,，xn）.4.标准形（或法度）:f= ny 1+?2y 2+ my n. （x=cy 代入 1）5. 标准形 :f=z21+z2pz2p+1 一 z2r（x=pz代入1,即4中1只取1,-1或0）.6. f=（cy）tacy=yt（ctac）y （x=cy代入 3）.7. f=ytay, 4 中记 a=diag（无，b,，m，yt= （

25、y1，y2,，yn）.界说:二次型与对称阵 a之间 对应，a叫做二次型f的矩阵，f叫做a的二次型，a的秩叫做 二次型f的秩.设n阶矩阵a与b,若有可逆矩阵 6使8 = d6则称矩阵a与b合同.(若a对称则b对称且r(a尸r(b).)定理8:一次型f总后正交交流x=cy,使f化为标准形f= 3y21+?2y22+-+1y2n,其间 人是f的矩阵a= (a。)的特征 值。推论:一次型f=xtax(at=a),总有可逆改换 x=pz,使f(pz)为标准形.f改换:已知x=cy, ctac= a=diag（比 也，而），其间入是f的矩阵a= （aj）的特 征值，设y=kz,对角阵k=diag（k1，k2,，kn）,根据二次型各种方法有f= xtax =yt（ctac）y=ztkt（ctac）kz=ztktakz,且得 x=ckz, ktak=diag（ xik21, 力k22,，为k2n）,且得标准形f=派21z21+ ?2k22z22+ zk2nz2n.,i 0其间k 0,则称f为正定二次型，并称对称阵a是正定的；若，宜有f(x)0为常数)的图形是以原点为中心的椭圆.三元正定二次型f(x,y,z) c( c0为常数)是一族椭球.大学数学