从高中视角感受考研级数知识

? ? 大家好，今天来探讨一下神秘的级数知识，又到了考研季，高中同学们好好观摩一下师哥师姐们的追求吧，也许再过几年就轮到你了……
? ? 这两天被一个很神奇的计算π的公式刷屏了，
这是怎么搞的呢？就是一个级数的知识。高中朋友都知道
???? 这是等比数列求和公式，是不是感觉与求π那公式有点像？但还不够像，你有没有想过，如果n它不是个固定值呢？如果是正无穷呢，也就是说我的数列是无穷项，那么一直加，和会是什么呢？当然如果|x|>1，那么结果也是无穷的，无法分辨出大小，当公比x绝对值小于1时才可能计算和的结果。
? ? 实际情况n会是无穷吗？当然了，高中生都学过几何分布吧，就是第k次首次成功的概率，这就是一个很好的应用，我们知道有 ，计算期望有些老师会讲，过程是这样的

为了看着简单，令q=1-p，那么有

将每项都拆开，与后面配一下，可配出


这里很多老师会告诉大家?q绝对值是小于1的，因此n取极限就是0了，有



同理又变成一个关于q的等比数列，q也是绝对值小于1的，因此有

就这样推导出几何分布的期望是1/p
??? 虽然草率的推导一下，但其过程中反复利用了公比的绝对值小于1的等比数列的技巧。如果加到无穷就先列出极限那个式子，先设共n项，最后再取极限，因此我们可以确定，当x绝对值小于1时，有

如果反着写，再将x换成-x，那么你会发现非常神奇的结果，即

当x=0时，我们就有
1=1
当x=0.5时，有
2/3=1-

0.5+0.25-0.125+…
??? 三等分角就可以用这原理来作，这里就不过度科普了，继续吧，我们知道arctan x的导数是1/(1+x2)，如果你不知道怎么来的，那就看看下面过程
x=tan y
x
1=sec2 y?y
y=cos2?y
y=1/(1+tan2?y)
y=1/(1+x2)
这个明确了，那么结合前面计算的等式，再将x换成x2，我们有


等式右侧是导数值，反着写回去将获得更多天空，即

其实这步骤不怎么严密了，毕竟加上常数项也是同样的结果，高中阶段大概了解一下就好，我们知道arctan 1=π/4
??? 但这里1正好是边界，别忘了前面等式成立的都是x绝对值小于1 的情况，你可以找到1/√3来代替，等等，不过高等数学里面已经证明出来了，x=1时也是成立的，那么我们就可以列等式了，即


??? 是不是感觉又找到了一种计算π的近似值的方法？不要那么天真了，这个精确度太低了，曾经试验过，用程序计算这个值，算到电脑明显精度不够的时候，得出来的π刚好是3.1415926，跟祖冲之的结果一样，可见当年祖冲之的成就还是很难被超越的。
??? 怎么样？是不是感觉很神奇，其实如果掌握级数的知识，会认识到更多不可思议的结果，这里很多都不严密的，了解一下就好，学了高数还要讨论收敛性等等，就不多说了，慢慢加油吧！这月考研了，不论是高中生还是考研学子，都加油吧，舍弃了圣诞的欢乐换来对梦想的拼搏，也是很值得的！