考研数学线性代数知识点及常考内容

??一、线性代数中重要的概念

1.行列式的定义2.代数余子式的定义3.矩阵的定义

4.方阵、三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵的定义

5.矩阵转置、对称矩阵与反对称矩阵

6.逆矩阵、伴随矩阵

7.矩阵的初等变换和初等矩阵

8.正交矩阵9.正定矩阵

10.矩阵的等价、相似、合同的定义11.方阵的行列式

12.向量组的线性相关及线性无关的定义

13.向量组的极大无关组和向量组的秩的定义

14.矩阵的秩的定义

15.齐次线性方程组及基础解系的定义

16.非齐次线性方程组、系数矩阵、增广矩阵的定义

17.特征值、特征向量的定义

18.二次型、二次型的标准形及规范形的定义

19.向量空间、基维数、基变换、过渡矩阵的定义

二、线性代数的重要性质

1.行列式的性质：1-6条

2.相似矩阵的性质`

(1)反身性、对称性、传递性

(2)相似矩阵的秩相等

(6)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值

3.逆矩阵、转置矩阵的性质

5.特征值与特征向量的性质

(1)属于不同特征值的特征向量必线性无关

(2)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交

三、线代中常用的结论

8.初等变换不改变初等矩阵的秩

9.若A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则A，B的行向量组等价，而A中任何k个列 向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性

10.若r(A)=r，则 Ax=0 基础解系含 n — r(A) 个解向量.Ax=0 有非零解的充要条件为 r(A)

17.若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关

18.合同一定等价，相似一定等价，实对称矩阵相似一定合同

19.两同阶实对称矩阵相似的充要条件：特征值相同

20.两同阶实对称矩阵合同的充要条件：秩相同，正惯性指数相同

21.两同型矩阵等价的充要条件：秩相同

四、线代中若干基本解题方法

1.行列式的计算方法

(1)用性质化成三角行列式(2)展开法(3)用矩阵的行列式计算

(4)求特征值(5)利用已知结论

2.求逆矩阵的方法

(1)伴随矩阵法

(2)初等变换法

(3)定义法

(4)分块求逆法

3.解方程组的方法

(1)克莱姆法则

(2)初等变换法

4.求矩阵的秩的方法

(1)初等变换法

(2)定义法:(不为0的子式的最高阶数

(3)利用有关重要结论: r(AB)<=min(r(A),r(B))

(4)利用线性方程组的有关结论

① 利用齐次线性方程组基础解系含解向量的个数与系数矩阵秩的关系

② 同解方程组的系数矩阵的秩相等

③ 利用非齐次线性方程组有解的充要条件：r(A)=r(A,b)

5.求特征值、特征向量的方法

6.化二次型为标准形的方法

(1)配方法

(2)正交线性变换法

7.证明(判别)向量组线性相(无)关的方法

(1)用线性相(无)关的定义

(2)利用求矩阵的秩的方法

(3)n个n维向量,判别|A|=0否

(4)利用一些重要结论

② 部分组相关=>整体相关整体无关=>部分组无关

③ 向量组所含向量的个数大于维数则相关

④ 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出

8.证明(判别)矩阵是否为正定的方法

(1)用定义(2)顺序主子式>0 (3)证实对称矩阵的特征值全大于0

9.证明矩阵相似的方法

(1)用定义(2)证与同一个对角矩阵相似

10.判断矩阵是否可对角化

(1)A有n个不相等的特征值:A可相似对角化

(2)充要条件:A有n个线性无关的特征向量

B常考内容

一、行列式的计算

二、矩阵的运算与求秩

三、向量组的线性相关性

四、方程组的解

五、特征值、特征向量