2023年数分高代的考研8题,不负韶华!(2023年贵州省数博会)

2023-10-20 11:12:57 考研全封闭培训 7

[摘要]

在2023 年考研数分高代重难点100道精选数分高代8题解答。今天距离2023年考研还有8天不到的时间准备。加油！例1. 设是定义在闭区间上的连续函数，对，有，证明：证. 由于，即同除得由均值不等式得再代入原式得例2....

在2023 年考研数分高代重难点100道精选数分高代8题解答。今天距离2023年考研还有8天不到的时间准备。加油！
例1. 设是定义在闭区间上的连续函数，对，有，证明：

证. 由于，即

同除得

由均值不等式得

再代入原式得

例2. 若满足

则称为次齐次函数. 试证 euler 定理: 设可微, 则为次齐次函数的充要条件是:

证. : 对原式两端关于求导, 再令即得.
: 若所证成立, 即 ,

由于 , 因此只要证明 , 事实上

对所证等式分别以代替自变量得

记 , 则上式可化为

即证.
例3. 设是有界光滑闭曲面并取固定点 . 计算 gauss 积分

这里是的外法向量.
证. 因为

这里 , 得到

令是由所围成的区域.

若 , 则

若 , 则考虑内的小球面

及其所围成的小球 . 应用高斯公式到区域得到

例4. 设函数.（1）求在上的fourier展开式，并写出和函数；（2）计算

解. (1) 显然在上为偶函数，即为余弦级数，故，就有：

即有

(2) 由于parseval等式，若的fourier级数展开在一致收敛，则有:

将代入得到

可得

又由

有

例5. 设向量组中 , 证明: 对任意的向量组

线性无关的充要条件是线性无关.
证. 设对任意的数线性无关, 则当取

时有线性无关, 若能由线性表出, 则存在使 , 由于 , 故不全为零. 不妨设 , 则由上式知, 当取

时线性相关, 矛盾. 即线性无关.
反之, 若线性无关, 设有数使 , 代入 , 则有

由于线性无关, 必有

即线性无关.
例6. 设是阶实对称矩阵，若的前个顺序主子式均大于零，而 . 证明: 元二次型

是半正定的, 其中 .
证. 设 , 则的前个顺序主子式均大于零为正定阵.
又由

及知 . 往证半正定. 对 , 则有

例7. 已知二次曲面

可以经正交变换

化为椭圆柱面方程，求的值和正交矩阵.
解. 设

且对应的矩阵为，则

再设

对应的矩阵为 , 则

由于与相似，即与相同的特征值,

将分别代入可得，故

当时,则特征向量 ;

当时,则特征向量 ;

当时,则特征向量 .

将它们单位化得

则所求正交阵为

例8. 设是欧几里得空间, 是的子空间. , 求证：是在上的正交投影的充要条件为 , 都有

证. 必要性：若是在上的正交投影, 那么有

注意到 , 那么有显然有

那么利用内积易算得

注意到 , 显然有

也即有

充分性：利用反证法, 若不是在上的正交投影, 那么不妨设是在上的正交投影. 那么有且, 于是

与必要性中的证明相类似, 有

注意到 , 那么有 , 于是有

这就与 , 都有的条件相矛盾, 于是是在上的正交投影.

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